Question

已知：如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点P．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S_△DBP=27，．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

Answer

（1）本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．
（2）本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中，，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果．
（3）根据图形从而得出x的取值范围即可．
【解析】
（1）∵一次函数y=kx+3与y轴相交，
∴令x=0，解得y=3，得D的坐标为（0，3）；

（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，
∠DCO=∠ACP，
∠DOC=∠CAP=90°，
∴Rt△COD∽Rt△CAP，则=，OD=3，
∴AP=OB=6，
∴DB=OD+OB=9，
在Rt△DBP中，∴，
即=27，
∴BP=6，故P（6，-6），
把P坐标代入y=kx+3，得到k=-，
则一次函数的解析式为：；
把P坐标代入反比例函数解析式得m=-36，
则反比例解析式为：；

（3）根据图象可得：，
解得：或
故直线与双曲线的两个交点为（-4，9），（6，-6），
当x＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．