Question

如图，以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D，E是BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）若AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的个根，求直角边BC的长．

Answer

（1）连OD，OE，由E是BC边上的中点，得到OE是△ABC的中位线，则OE∥AC，所以有∠1=∠3，∠2=∠A，而∠A=∠3，因此得到∠1=∠2，再加上OD=OB，OE为公共边，所以得到△OED≌△OEB，于是∠OED=∠OBE=90°；
（2）首先解方程x2-10x+24=0，从而求出AD、AB的长，再证明△ABC∽△ADB，得出，即可求出答案．
【解析】
（1）连OD，OE，如图，
∵E是BC边上的中点，AB是半圆O的直径，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3，
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE为公共边，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切．

（2）∵AB为直径
∴∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴，
∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的个根，AB为圆的直径，
∴AD=4、AB=6，
∴AC=9，
∴BC=3．