Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD．

Answer

从切线的性质出发，通过切线与弦所夹的角与弧弦夹角相等，即得到∠CDB=∠CBA；由切线的性质而求得．
（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC
∵OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线．
又∵CD切⊙O于点D，
∴BC=CD；

（2）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD、
∴∠ADE=∠ABD；