Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A´B´相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．
（1）求点D的坐标；
（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；
（3）若以动点为E圆心，以为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时，Tan∠EA′B′=？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．

Answer

现根据直线y=与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，进而再求出OD的长度；然后根据需要作出恰当的辅助线，再结合题意对题目进行分析．
【解析】
（1）由题意知A（，0）B（0，），
∴OA=，OB=，
∴AB==5，
∵OD⊥AB，
∴OA•OB=AB•OD，
∴OD==2．
过点D作DH⊥x轴于点H．（如图1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=，
∴DH=2OH．
设OH=a，则DH=2a．
∴a2+4a2=4，
∴a=．
∴OH=，DH=．
∴D（-，）；

（2）设DE与y轴交于点M．（如图2）
∵四边形DFB′G是平行四边形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴点M是OB中点，
∴M（0，）．
设线段DE所在直线解析式为y=kx+b．
把M（0，）D（，）代入y=kx+b，
得，解得．
∴线段DE所在直线的解析式为；

（3）设直线A′B′交x轴于点N，（如图3）过点A′作A′K⊥x轴于点K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=，
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
过点B′作B′T⊥y轴于点T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
设直线A’B’的解析式为y=k1x+b1．
则，解得．
∴直线A′B′的解析式为．
∴N（，0），
∴KN=，
∴A’N==．
当E点在N点左侧点E1位置时，过点E1作E1Q1⊥A’N于点Q1．
∵tan∠A’NK==，
∴设E1Q1=3m，则Q1N=4m．
又∵tan∠E1A’B’=，
∴A’Q1=24m，
∴28m=，
∴m=，
∴E1N=，
∴OE1=ON-E1N=，此时t=．
过点E1作E1S1⊥A’O于点S1．
∵sin∠E1OS1=sin∠A′OK，
∴，
∴E1S1=．
∵⊙E的半径为，而，
∴⊙E1与直线A’O相交．
当E点在N点右侧点E2位置时，
过点E2作E2Q2⊥A′N于点Q2．
同理OE2=5，此时t=5．
过点E2作E2S2⊥A′O于点S2．
同理E2S2==．
∵⊙E的半径为，
∴⊙E2与直线A′O相切．
∴当t=或t=5时，tan∠EA′B′=；
当t=时直线A′O与⊙E相交，当t=5时直线A′O与⊙E相切．