Question

在直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．
（1）若点P的坐标为（-1，4），求此时抛物线的解析式；
（2）若点P的坐标为（-1，k），k＜0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QB+QP取得最小值为5；
（3）试求满足（2）时动点Q的坐标．

Answer

（1）根据顶点设出抛物线顶点式解析式为y=a（x+1）2+4，然后把点A的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，找出点P关于y轴的对称点P′，连接BP′交y轴于点Q，则QB+QP最小，即QB+QP′最小，再根据抛物线的对称性求出点B的坐标，然后求出AB，再Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可得到k的值；
（3）根据△BOQ和△BAP′相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出OQ的值，即可得到点Q的坐标．
【解析】
（1）∵顶点P的坐标为（-1，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，
将点A（1，0）坐标代入，得a（1+1）2+4=0，
解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）2+4（或y=-x2-2x+3）；

（2）作点P关于y轴的对称点P′（1，k），连接BP′交y轴于点Q，
所以，QP=QP′，
点Q即为所求的使QB+QP取得最小值时的点，
∵点A（1，0），对称轴为直线x=-1，
∴点B（-3，0），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，
∵QB+QP取得最小值为5；
∴BP′=QB+QP′=QB+QP=5，
在Rt△ABP′中，AB2+AP′2=BP′2，
即42+k2=52，
解得k=3或k=-3，
∵k＜0，
∴k=-3；

（3）由（2）知，△BOQ∽△BAP′，
∴=，
即=，
∴OQ=．
所以Q点的坐标为（0，-）．