Question

如图1，已知矩形ABCD中，，O是矩形ABCD的中心，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，得矩形BEOF．
（1）线段AE与CF的数量关系是______，直线AE与CF的位置关系是______；
（2）固定矩形ABCD，将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图2的位置，连接AE、CF．那么（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
（3）若AB=8，当矩形BEOF旋转至点O在CF上时（如图3），设OE与BC交于点P，求PC的长．

Answer

（1）根据O是矩形ABCD的中心，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F可知，四边形OEBF为矩形，可推知各线段的数量及位置关系；
（2）延长AE交BC于H，交CF于G，由已知得，进而得到，构造相似三角形△ABE和△CBF，根据相似三角形的性质进行判断；
（3）根据已知条件，利用勾股定理求出CF的长，进而求出OC的长，判断出△BPE∽△CPO，根据相似三角形的性质即可求出PC的长．
【解析】
（1）∵O是矩形ABCD的中心，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∴AE=AB，CF=BC，
∵AB=BC，
∴AB=×BC，即AE=CF；
∵AB⊥BC，点E、F分别是AB、BC上的点，
∴AE⊥CF；
故答案为AE=CF；AE⊥CF；

（2）（1）中的结论仍然成立．
如图1，延长AE交BC于H，交CF于G，
由已知得，
∴
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴∠BAE=∠BCF，，
∵∠BAE+∠AHB=90°，∠AHB=∠CHG，
∴∠BCF+∠CHG=90°
∴∠CGH=180°-（∠BCF+∠CHG）=90°，
∴AE⊥CF，且AE=．

（3）∵AB=，AB=8，
∴BC=6，
∴BE=OF=4，BF=OE=3，
∵点O在CF上，
∴∠CFB=90°，
∴CF=，
∴OC=CF-OF=，
∵∠CPO=∠BPE，∠PEB=∠POC=90°，
∴△BPE∽△CPO，
∴，
设CP=x，则BP=6-x，
∴，
解得：，
∴．