Question

已知：如图1所示，直线x+y=9与x轴、y轴相交于C、D两点，直线2x+3y+12=0与x轴、y轴相交于A、B两点，F（4，0）是x轴上一点，过C点的直线l垂直于x轴，N是直线l上一点（N点与C点不重合），连接AN．
（1）求A、D两点的坐标；
（2）若P是AN的中点，PF=5，猜想∠APF的度数，并说明理由；
（3）如图2所示，连接NF，求△AFN外接圆面积的最小值，并求△AFN外接圆面积的最小时，圆心G的坐标．

Answer

（1）联立方程组可求得A（-6，0），D（0，9）；
（2）根据题意可知∠FPA=90°，取AC的中点Q，则PQ是△CAN的中位线．通过证明在△AFP和△PFQ中，∠QFP=∠PFA，可证△AFP∽△PFQ，即∠APF=∠PQF=90度；
（3）作线段AF的垂直平分线MH，交AF于点H，则圆心G在MH上，设G点的坐标为（-1，m），N点的坐标为（9，n），则△AFN的外接圆的半径为GN，求△AFN的外接圆面积的最小值，即求线段CN长度的最小值，据点到直线距离的定义和矩形的性质以及勾股定理可求得点G的坐标为（-1，）或（-1，-）．
【解析】
（1）求得A（-6，0），D（0，9）；

（2）∠FPA=90°．
取AC的中点Q，则PQ是△CAN的中位线．
∵NC⊥x轴，
∴PQ⊥X轴，∠AQP=90°，
∴AQ=AC=7.5，
∴QF=AF-AQ=10-7.5=2.5，
∴，，
∴，
在△AFP和△PFQ中，∠QFP=∠PFA，
∴△AFP∽△PFQ，
∴∠APF=∠PQF=90°，

（3）作线段AF的垂直平分线MH，交AF于点H，则圆心G在MH上，且点H的横坐标为-1，
设G点的坐标为（-1，m），N点的坐标为（9，n），则△AFN的外接圆的半径为GN，
求△AFN的外接圆面积的最小值，即求线段CN长度的最小值，
根据点到直线距离的定义知：当GN⊥CN时，GN的长度最短，
此时四边形GHCN为矩形，GN=HC=FG=10，
在Rt△GHF中，HF=5，
由勾股定理得：GH2=FG2-HF2，
∴m2=75，
m=±，
此时，点G的坐标为（-1，）或（-1，-）．