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如图,将边长为3+的等边△ABC折叠,折痕为DE,点B与点F重合,EF和DF分别...

如图,将边长为3+manfen5.com 满分网的等边△ABC折叠,折痕为DE,点B与点F重合,EF和DF分别交AC于点M、N,DF⊥AB,垂足为D,AD=1,则重叠部分的面积为   
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观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积.由折叠的性质,可求得∠BDE=∠EDF=45°,由四边形的内角和为360°,求得∠BEF为150°,得到∠CEM为30°,则可证得∠EMC为90°;作△BDE的高,根据45°与60°的三角函数,借助于方程即可求得其高的值,则各三角形的面积可解. 【解析】 过点E作EG⊥AB于G, ∴∠EGB=90°, ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=3+, 根据题意得:∠BDE=∠FDE,∠F=∠B=60°, ∵DF⊥AB, ∴∠FDB=90°, ∴∠BEF=360°-∠B-∠F-∠BDF=150°,∠BDE=∠FDE=∠FDB=45° ∴∠MEC=180°-∠BEF=30°, ∴∠EMC=180°-∠C-∠EMC=90°, 在Rt△ADN中,AD=1,tan∠A=tan60°==, ∴DN=, ∴S△ADN=AD•DN=×1×=, 在△BDE中,DB=AB-AD=3+-1=2+, ∵∠EDG=45°, ∴∠DEG=45°, ∴DG=EG, ∵tan∠B=tan60°==, 设EG=x,则DG=x,BG=x, ∴x+x=2+, 解得:x=, ∴EG=DG=, ∴S△BDE=BD•EG=×(2+)×=, ∵∠B=∠C=∠F=60°, ∴BE==+1, ∴EC=BC-BE=2, ∵∠BED=∠FED=180°-∠B-∠BDE=75°, ∴∠FNM=∠MEC=30°, ∴∠FMN=∠EMC=90°, ∴EM=EC•cos30°=, ∴FM=EF-EM=BE-EM=1, ∴MN=FM•tan60°=, ∴S四边形MNDE=S△DEF-S△MNF=S△BDE-S△MNF=-×1×=.
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