Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，O）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，
（1）求点P的坐标；

（2）连BP、AP，在PB上任取一点E，连AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时，（不与B、P重合），求；

Answer

（1）连接BP、AP，过P作x轴的垂线，设垂足为Q；由圆周角定理知AB是⊙O的直径，而∠AOP=45°，
得出OP平分∠AOB，则弧BP=弧AP，由此可证得△ABP是等腰Rt△；易求得直径AB的长，即可求出AP的值；在Rt△APQ中，易知PQ=OQ，可用OQ表示出BQ，由勾股定理即可求得OQ、PQ的长，即可得出P点的坐标．
（2）先过F作FK⊥AP，再证明△AFK≌△EAP和△GFK≌△CBP，最后解出结果即可．
【解析】
（1）连接AP、BP，过P作PQ⊥x轴于Q；

∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直径，则∠APB=90°；
Rt△AOB中，OB=2，OA=2，由勾股定理，得AB=4；
∵∠AOP=45°，
∴OP平分∠AOB，
∴弧BP=弧AP；
则△ABP是等腰Rt△，AP=2；
Rt△POQ中，∠POQ=45°，则PQ=OQ；
设PQ=OQ=x，则AQ=2-x；
Rt△APQ中，由勾股定理得：
AP2=AQ2+PQ2，即（2-x）2+x2=8，
解得x=+1，x=-1（舍去），
∵∠POA=45°，∠PQO=90°，
∴PQ=OQ=x=+1；
即P点坐标为（+l，+1）；

（2）过F作FK⊥AP，则△AFK≌△EAP，

∴AK=PE，FK=AP=BP，
∴AP-AK=BP-PE，
∴PK=BE，
在△GFK和△GBP中，

∴△GFK≌△GBP，
∴PG=GK，
∴PG=PK=BE，
∴=2；