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如图,P为正方形ABCD的对称中心,正方形ABCD的边长为,tan∠ABO=3....

如图,P为正方形ABCD的对称中心,正方形ABCD的边长为manfen5.com 满分网,tan∠ABO=3.直线OP交AB于N,DC于M,点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点R从O出发沿OM方向以manfen5.com 满分网个单位每秒速度运动,运动时间为t.
求:(1)分别写出A、C、D、P的坐标;
(2)当t为何值时,△ANO与△DMR相似?
(3)△HCR面积S与t的函数关系式;并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值.

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(1)根据三角函数即可求得OA,OB的长,即可得到A则坐标,C的坐标,进而求得D,P的坐标; (2)分∠MDR=45°和∠DRM=45°两种情况求得t的值; (3)分0<t≤4和t>4两种情况求得函数解析式,然后分当CR∥AB时,当AR∥BC时,当BR∥AC三种情况求得t的值,进而求得函数的最大值. 【解析】 (1)A(0,3)C(4,1),D(3,4),P(2,2) (2)过点N作NE⊥AO,于点E,过点A作AF⊥MS于点F,MS⊥x轴于点S, 由(1)可得:B(1,0), ∴直线AB的解析式为:y=-3x+3①; 直线OP的解析式为:y=x②, ①②联立得, ∴N(,), 直线CD的解析式是:y=-3x+13, 解方程组:,解得:. 则M的坐标是:(,), ∴ON=,OM=, ∵AD2+DM2=AF2+MF2, 10+MD2=()2+()2, ∴DM=, AN==. 当∠MDR=45°时, ∵∠AON=45°, ∴∠MDR=∠AON, ∵AN∥DM, ∴∠ANO=∠DMP, ∴△ANO与△DMR相似,则△ANO∽△RMD, ∴,即=, 解得:MR=, 则OR=OM-MR=2. ∴t=2, 同理可得:当∠DRM=45°时,t=3,△ANO与△DMR相似, 综上可知:t=2或3时当△ANO与△DMR相似; (3)①∵R速度为,H速度为1,且∠ROH=45°, ∴tan∠ROH=1, ∴RH始终垂直于x轴, ∴RH=OH=t, 设△HCR的边RH的高为h, ∴h=|4-t|. ∴S△HCR=h•t2=|-t2+4t|, ∴S=-t2+2t(0<t<4);S=t2-2t(t>4); ②以A、B、C、R为顶点的梯形,有两种可能: 1.顶边和底边分别为BC、AR,此时BC∥AR. 延长AD,使其与OM相交于点R, ∴AD的斜率=tan∠BAO=, ∴直线AD为:y=+3. ∴R坐标为(4.5,4.5), ∴此时四边形ABCR为梯形为梯形, ∴t=4.5 2.顶边、底边分别为CR、AB,此时CR∥AB,且R与M重合. ∴CD的斜率=-3,且直线CD过点C, ∴直线CD为:y-1=-3•(x-4), ∴y=-3x+13, ∵OM与CD交于点M(即R), ∴M为(,), ∴此时四边形ABCR为梯形, ∴t=, ∴当CR∥AB时,t=,S=, 当AR∥BC时,t=,S=, 当BR∥AC时,t=,S=. (3)①分两种情况: 一、0<t≤4,H在E点左侧; 易知RH=t,HE=4-t,故S=RH•HE=t(4-t)=-t2+2t; 二、t>4,H在E点右侧; 易知RH=t,HE=t-4,故S=RH•HE=t(t-4)=t2-2t; ②若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形,分三种情况: 一、CR∥AB;此时R、M重合, 由C(4,1),D(3,4),可求得直线CD:y=-3x+13; 当x=y时,-3x+13=x,解得x=; 即M(即R)点横坐标为,H(,0); 故t=,代入S=-t2+2t(0<t≤4)可得S=; 同理可求得: 二、AR∥BC时,t=,S=; 三、BR∥AC时,t=,S=; 综合①②可得: S=-t2+2t(0<t≤4);(1分) S=t2-2t(t>4).(1分) 当CR∥AB时,t=,(1分) S最大=;(1分) 当AR∥BC时,t=,S最大=;(1分) 当BR∥AC时,t=,S最大=.(1分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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