Question

如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．
（2）试在（1）中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标．
（3）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．
（4）设从出发起，运动了t秒．当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

Answer

（1）根据待定系数法就可以求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式．
（2）点D就是抛物线与CB的另一个交点．在抛物线的解析式中令y=6，就可以求出D的坐标．
（3）本题应分Q在OC上，和在CB上两种情况进行讨论．即0≤t≤5和5＜t≤10两种情况．
（4）P、Q两点运动的路程之和可以用t表示出来，梯形OABC的周长就可以求得．当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，就可以得到一个关于t的方程，可以解出t的值．梯形OABC的面积可以求出，梯形OCQP的面积可以用t表示出来．把t代入可以进行检验．
【解析】
（1）∵O、C两点的坐标分别为O（0，0），C（8，6），
设OC的解析式为y=kx+b，将两点坐标代入得：k=，b=0，
∴y=x（2分）
∵A，O是x轴上两点，
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-0）（x-18）
再将C（8，6）代入得：a=-
∴y=-x2+x．（5分）

（2）D（10，6）．

（3）当Q在OC上运动时，可设Q（m，m），
依题意有：m2+（m）2=（2t）2
∴m=t，
∴Q（t，t），（0≤t≤5）
当Q在CB上时，Q点所走过的路程为2t，
∵OC=10，
∴CQ=2t-10，
∴Q点的横坐标为2t-10+8=2t-2，
∴Q（2t-2，6），（5＜t≤10）．（11分）

（4）∵梯形OABC的周长为：10+18+10+6=44，当Q点OC上时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为（22-t），
△OPQ中，OP边上的高为：（22-t）×，S△OPQ=t（22-t）×，
梯形OABC的面积S=（18+10）×6=84，
∵直线PQ把梯形的面积也分成相等的两部分，即S△OPQ=S，
依题意有：t（22-t）×=84×，
整理得：t2-22t+140=0
∵△=222-4×140＜0，
∴这样的t不存在，
当Q在BC上时，Q走过的路程为22-t，
∴CQ的长为：22-t-10=12-t，
∴梯形OCQP的面积=×6×（22-t-10+t）=36≠84×，
∴这样的t值不存在．
综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积．（16分）