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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°...

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB上,⊙O与AB交于点E.
(1)求证:直线BD与⊙O相切;
(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求⊙O的直径.

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(1)连接OD、DE,求出∠A=∠ADO,求出∠ADO+∠CDB=90°,求出∠ODB=90°,根据切线的判定推出即可; (2)求出∠ADE=90°=∠C,推出BC∥DE,得出E为AB中点,推出AE=AB,DE=BC=3,设AD=4a,AE=5a,由勾股定理求出DE=3a=3,求出a=1,求出AE即可. (1)证明: 连接OD、DE, ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO, ∵∠A+∠CDB=90°, ∴∠ADO+∠CDB=90°, ∴∠ODB=180°-90°=90°, ∴OD⊥BD, ∵OD是⊙O半径, ∴直线BD与⊙O相切. (2)【解析】 ∵AE是⊙O直径, ∴∠ADE=90°=∠C, ∴BC∥DE, ∴△ADE∽△ACB, ∴= ∵D为AC中点, ∴AD=DC=AC, ∴AE=BE=AB, DE是△ACB的中位线, ∴AE=AB,DE=BC=×6=3, ∵设AD=4a,AE=5a,在Rt△ADE中,由勾股定理得:DE=3a=3, 解得:a=1, ∴AE=5a=5, 答:⊙O的直径是5.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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