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如图,已知二次函数y=ax2+2x+3的图象与x轴交于点A、点B,与y轴交于点C...

如图,已知二次函数y=ax2+2x+3的图象与x轴交于点A、点B,与y轴交于点C,其顶点为D,tan∠OBC=1,
(1)求点B的坐标;
(2)求a的值和二次函数y=ax2+2x+3的顶点坐标;
(3)求直线DC的解析式;
(4)在该二次函数的图象上是否存在点P(点P与点B、C不重合),使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请你说明理由.

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(1)由二次函数y=ax2+2x+3的图象与y轴交于点C,令x=0,求得y的值,即可得点C的坐标,又由tan∠OBC=1,即可求得点B的坐标; (2)将点B(3,0)代入二次函数y=ax2+2x+3中,即可求得a的值,利用配方法即可求得二次函数y=ax2+2x+3的顶点坐标; (3)设直线DC的解析式为y=kx+b,利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式; (4)存在,分为PC是斜边与PB是斜边去分析,首先设P(x,-x2+2x+3),然后由勾股定理得方程,解方程即可求得点P的坐标. 【解析】 (1)∵二次函数y=ax2+2x+3的图象与y轴交于点C, ∴令x=0,得y=3, ∴点C的坐标为(0,3), ∵tan∠OBC==1, ∴OB=OC=3, ∴点B的坐标为(3,0); (2)将点B(3,0)代入二次函数y=ax2+2x+3中, 可得:9a+6+3=0, 解得:a=-1, ∴二次函数的解析式为:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴二次函数y=ax2+2x+3的顶点D的坐标为(1,4); (3)设直线DC的解析式为y=kx+b, ∴, 解得:, ∴直线DC的解析式为:y=x+3; (4)存在. ①∵直线BC的解析式为y=-x+3, ∴直线BC与直线DC垂直, ∴当点P与D重合时,△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形,即是△DBC, ∴此时点P的坐标为(1,4); ②设PC为斜边,设P(x,-x2+2x+3), 由勾股定理:PC2=PB2+BC2, ∴x2+(x2-2x+3-3)2=(x-3)2+(-x2+2x+3)2+18, 整理得:x2-x-6=0, 解得:x=3或x=-2, ∴当x=3时,y=0,(舍去), 当x=-2时,y=-5, ∴点P(-2,-5); ∴点P的坐标为(1,4)或(-2,-5).
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考点分析:
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第2组100≤x<1208
第3组120≤x<140a
第4组140≤x<16018
第5组160≤x<1806
请结合图表完成下列问题:
(1)表中的a=______
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)这个样本数据的中位数落在第______组;
(4)若八年级学生一分钟跳绳次数(x)达标要求是:x<120不合格;120≤x<140为合格;140≤x<160为良;x≥160为优.根据以上信息,请你给学校或八年级同学提一条合理化建议:______
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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