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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N...

如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)求四边形MEFN面积的最大值;
(3)试判断四边形MEFN能否为正方形?若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.

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(1)本题的关键是求梯形的高,可通过梯形两底的差和腰的长求出梯形的高,然后根据梯形的面积公式即可得出梯形ABCD的面积. (2)可用二次函数来求解.可设四边形MEFN(其实是矩形)的面积为y,AE=BF=x,那么可根据AB的长表示出EF,然后根据相似三角形△AEM和△AGD得出的关于EM、GD、AE、AG的比例关系式用x表示出ME (也可用∠A的正切函数来求),然后根据矩形的面积公式即可得出y、x的函数关系式,根据函数的性质即可求出y的最大值也就是矩形MEFN的最大面积. (3)若四边形MEFN为正方形,那么ME=EF,可据此确定x的值,然后将x的值代入(2)的函数式中即可求出正方形MEFN的面积. 【解析】 (1)分别过D,C两点作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H. ∵AB∥CD, ∴DG=CH,DG∥CH. ∴四边形DGHC为矩形,GH=CD=1. ∵DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°, ∴△AGD≌△BHC(HL). ∴AG=BH=. ∵在Rt△AGD中,AG=3,AD=5, ∴DG=4. ∴S梯形ABCD==16. (2)∵MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB, ∴ME=NF,ME∥NF. ∴四边形MEFN为矩形. ∵AB∥CD,AD=BC, ∴∠A=∠B. ∵ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°, ∴△MEA≌△NFB(AAS). ∴AE=BF. 设AE=x,则EF=7-2x. ∵∠A=∠A(公共角),∠MEA=∠DGA=90°, ∴△MEA∽△DGA. ∴. ∴ME=. ∴S矩形MEFN=ME•EF=x(7-2x)=-(x-)2+. 当x=时,ME=<4, ∴四边形MEFN面积的最大值为. (3)能. 由(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=x. 若四边形MEFN为正方形,则ME=EF. 即=7-2x. 解得x=. ∴EF=7-2x=7-2×=<4. ∴四边形MEFN能为正方形,其面积为S正方形MEFN=()2=.
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考点分析:
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我省对义务教育阶段学生的家庭作业也做了总量控制,初中布置语文、数学、外语三个学科的课外作业,作业总量每天不超过1.5小时,为了全面贯彻教育方针,全面提高教育质量,学校教务处对学生回家作业的时间做了一抽样调查,记录了三个年段中部分学生完成作业时间如下:
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时间分组(小时)频数(人数)频率
0≤t<0.5100.2
0.5≤t<10.4
1≤t<1.5100.2
1.5≤t<20.1
2≤t<2.55
合计1
(1)请你将频数分布表和频数分布直方图补充完整.
(2)上述学生的作业时间的中位数落在哪一组范围内?
(3)请估计全校1400名学生中约有多少学生时间控制在1.5小时以内.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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