Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，F为BC中点，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF≌△BGF：
（2）过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，AD=5cm，求tan∠BGF．

Answer

（1）由题意可得出∠DFC=∠BFG，∠DCF=∠GBF，FC=FB，利用AAS即可证明结论；
（2）过点D作DH∥BC交AB于点H，首先在RT△ADH中求出DH的长度，然后在RT△DHG中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠BGF的值．
证明：（1）∵梯形ABCD，AB∥CD，F为BC中点，
∴∠DFC=∠BFG，∠DCF=∠GBF，FC=FB，
∴△CDF≌△BGF（AAS）；

（2）∵F是BC的中点，EF∥CD，
∴点E为AD中点，
又∵AB=6cm，EF=4cm，
∴CD=2EF-AB=2cm，即可得BG=DC=2cm，
过点D作DH∥BC交AB于点H，
在RT△DHA中，由AD=5cm，AH=AB-BH=AB-CD=4cm，
故可得DH==3cm，
又∵HG=4cm，
∴在RT△DHG中，tan∠BGF==．