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如图,已知抛物线C1:y=a(x+2)2-5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(...

如图,已知抛物线C1:y=a(x+2)2-5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.
(1)求P点坐标及a的值;
(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;
(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.
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(1)由抛物线C1:y=a(x+2)2-5得顶点P的为(-2,-5),把点B(1,0)代入抛物线解析式,解得,a=; (2)连接PM,作PH⊥x轴于H,作MG⊥x轴于G,根据点P、M关于点B成中心对称,证明△PBH≌△MBG,所以MG=PH=5,BG=BH=3,即顶点M的坐标为(4,5),根据抛物线C2由C1关于x轴对称得到,抛物线C3由C2平移得到,所以抛物线C3的表达式为y=(x-4)2+5; (3)根据抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得点N的纵坐标为5,设点N坐标为(m,5),作PH⊥x轴于H,作NG⊥x轴于G,作PK⊥NG于K,可求得EF=AB=2BH=6,FG=3,点F坐标为(m+3,0),H坐标为(2,0),K坐标为(m,-5), 根据勾股定理得:PN2=NK2+PK2=m2+4m+104,PF2=PH2+HF2=m2+10m+50,NF2=52+32=34. 分三种情况讨论,利用勾股定理列方程求解即可.①当2∠PNF=90°时,PN2+NF2=PF2,解得m=,即Q点坐标为(,0); ②当∠PFN=90°时,PF2+NF2=PN2,解得m=, ∴Q点坐标为(,0), ③PN>NK=10>NF,所以∠NPF≠90° 综上所得,当Q点坐标为(,0)或(,0)时,以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形. 【解析】 (1)由抛物线C1:y=a(x+2)2-5得, 顶点P的坐标为(-2,-5),(2分) ∵点B(1,0)在抛物线C1上, ∴0=a(1+2)2-5, 解得,a=;(4分) (2)连接PM,作PH⊥x轴于H,作MG⊥x轴于G, ∵点P、M关于点B成中心对称, ∴PM过点B,且PB=MB, ∴△PBH≌△MBG, ∴MG=PH=5,BG=BH=3, ∴顶点M的坐标为(4,5),(6分) 抛物线C2由C1关于x轴对称得到,抛物线C3由C2平移得到, ∴抛物线C3的表达式为y=(x-4)2+5;(8分) (3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到, ∴顶点N、P关于点Q成中心对称, 由(2)得点N的纵坐标为5, 设点N坐标为(m,5),(9分) 作PH⊥x轴于H,作NG⊥x轴于G, 作PK⊥NG于K, ∵旋转中心Q在x轴上, ∴EF=AB=2BH=6, ∴FG=3,点F坐标为(m+3,0). H坐标为(-2,0),K坐标为(m,-5), ∵顶点P的坐标为(-2,-5), 根据勾股定理得: PN2=NK2+PK2=m2+4m+104, PF2=PH2+HF2=m2+10m+50, NF2=52+32=34,(10分) ①当∠PNF=90°时,PN2+NF2=PF2,解得m=, ∴Q点坐标为(,0). ②当∠PFN=90°时,PF2+NF2=PN2,解得m=, ∴Q点坐标为(,0). ③∵PN>NK=10>NF, ∴∠NPF≠90° 综上所得,当Q点坐标为(,0)或(,0)时,以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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