Question

如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上的一点，CD交⊙O于点D，且∠A=∠C=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请直接写出图中某3条线段之间的等量关系式，只要写出3个．（添加的辅助线不能用）

Answer

（1）连接OD，由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB为直角，再由∠A为30°，利用三角形的内角和定理求出∠OBD为60°，再由OD=OB，得到三角形OBD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到内角∠ODB为60°，又∠OBD为三角形BDC的外角，利用外角的性质得到∠BDC=∠OBD-∠C，求出∠BDC为30°，进而确定出∠ODC为直角，即DC垂直于OD，可得出CD为圆O的切线，得证；
（2）由O为AB的中点得到OA=OB，再由三角形ODB为等边三角形可得出DB=OB，在直角三角形OCD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出OD为OC的一半，即OB为OC的一半，即B为OC中点，可得出BC=OB，即可得到OA=OB=BC=BD，找出其中的三条线段相等即可．
【解析】
（1）连接OD，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，又OD=OB，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∵∠ABD为△DBC的外角，
∴∠ABD=∠C+∠BDC，又∠C=30°，
∴∠BDC=∠ABD-∠C=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，
∴OD⊥DC，
则CD是⊙O的切线；

（2）AO=OB=BC或DB=OB=BC或OA=DB=BC．