Question

如图，在直角坐标系xOy中，A、B是x轴上的两点，以AB为直径的圆交y轴于C，设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x²-mx+n．方程x²-mx+n=0的两根倒数和为-4．
（1）求n的值；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问是否存在此线段EF为直径的圆恰好与x轴相切？若存在，求出此圆的半径；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由于AB是圆的直径，根据相交弦定理的推论可得OC2=OA•OB，若设A（x1，0），B（x2，0），那么n2=-x1x2，根据根与系数的关系知x1x2=n，联立两式即可求得n的值．
（2）根据韦达定理可求得方程的两根之和与两根之积，即可表示出它们的倒数和，已知了倒数和为-4，即可求得m的值，由此确定抛物线的解析式．
（3）可假设存在这样的点E、F，设以线段EF为直径的圆的半径为|r|，那么可用半径|r|表示出E，F两点的坐标，然后根据E，F在抛物线上，将E，F的坐标代入抛物线的解析式中，可得出关于|r|的方程，如果方程无解则说明不存在这样的E，F点，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F两点的坐标．
【解析】
（1）由题意，设A（x1，0），B（x2，0），C（0，n）
∵OA=-x1，OB=x2，又CO⊥AB，
∴CO2=AO•OB，
即n2=-x1x2；
又∵x1，x2是方程x2-mx+n=0的两根，
∴x1+x2=n，
∴n2=-n，
∴n1=-1，n2=0（舍去），
∴n=-1．

（2）∵x1，x2是方程x2-mx+n=0的两根，
∴x1+x2=m．
又∵n=-1，
∴x1x2=-1，
∴+===-4，
∴m=4，
∴所求抛物线的关系式为y=x2-4x-1．
（3）存在，设满足条件的圆的半径为|r|，
∵y=x2-4x-1．
=（x-2）2-5，
抛物线对称轴为x=2，
根据圆和抛物线的对称性可知：圆心在抛物线的对称轴上，
∴E的坐标为（2+|r|，r），
∵点E在抛物线上，
∴r=（2+|r|-2）2-5，
即：r2-r-5=0，
解得：r=或，
∴存在此线段EF为直径的圆恰好与x轴相切，此圆的半径为或．