Question

如图，抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点A（2，-），与x轴交于B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和B、C两点的坐标；
（3）请在该抛物线x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．

Answer

（1）根据对称轴为直线x=1可得：-=1，经过点A（2，-）可得，把两式组成方程组可以算出b、c的值，进而得到抛物线解析式；
（2）求B、C点坐标就是计算x2-x-=0的解，顶点坐标就是把x=1代入再算出y的值，即可得到顶点坐标；
（3）根据（2）中计算的B、C点坐标可得到△EBC的一边长，当面积最大时就是E点是抛物线的顶点时，根据（2）中计算的顶点坐标可得到BC上的高，进而可计算出三角形的面积．
【解析】
（1）由已知条件得：，
解得，
故抛物线解析式为y=x2-x-；

（2）由x2-x-=0，
解得：x1=-1，x2=3，
则B（-1，0），C（3，0），
当x=1时，y=--=-3，
则顶点坐标为（1，-3）；

（3）∵B（-1，0），C（3，0），
∴BC=4，
∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大，
∴E点是抛物线的顶点，
∴△EBC的面积最大=×3×4=6．