Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°．
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连接CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切？

Answer

（1）由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠C=90°，又∠ABC=60°得到∠A=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由BC求出AB的长，即为圆O的直径；
（2）DB=OB时，CD与圆O相切，理由为：由OC=OB得到△OCB为等腰三角形，又∠ABC为60°，故△OCB为等边三角形，进而得到CB=OB=OC，而OB=BD，故CB=OB=BD，根据一边上的中线等于这边的一半，得到这边所对的角为直角，即∠OCD为直角，故DC与圆O相切．
【解析】
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
又弦BC=4cm，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
则⊙O的直径AB=2BC=4cm；

（2）
当BD=BC=2cm时，CD与圆O的相切，
证明：∵∠ABC=60°，OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，
∴CB=OB=BD，
∴∠OCD=90°，
∴CD是圆O的切线．