Question

已知抛物线C：y=x²-（m+1）x+1的顶点在坐标轴上．
（1）求m的值；
（2）m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后与抛物线C₁：y=ax²+bx+c关于y轴对称，且C₁过点（n，3），求C₁的函数关系式；
（3）-3＜m＜0时，抛物线C的顶点为M，且过点P（1，y）．问在直线x=-1上是否存在一点Q使得△QPM的周长最小，如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）当抛物线C的顶点在x轴上时，△=[-（m+1）]2-4=0，求出m的值，当抛物线C的顶点在y轴上时，-（m+1）=0，求出m的值，即可得到答案；
（2）当m＞0时，m=1，即可得到抛物线C的解析式，向下平移n（n＞0）个单位后得到y=x2-2x+1-n，根据抛物线y=x2-2x+1-n与抛物线C1：y=ax2+bx+c关于y轴对称，得到抛物线C1：y=x2+2x+1-n，把点（n，3）代入求出即可；
（3）存在，根据已知可求出抛物线C的解析式是y=x2+1，把P的坐标代入即可求出P的坐标，作点M（0，1）关于直线x=-1的对称点M′（-2，1），设直线PM′的解析式为y=kx+b，把P、M′的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可求出Q的坐标．
（1）【解析】
当抛物线C的顶点在x轴上时，△=[-（m+1）]2-4=0，
解得m=1或m=-3，
当抛物线C的顶点在y轴上时，-（m+1）=0，
∴m=-1，
即：m=±1或m=-3，
答：m的值是m=±1或m=-3．

（2）【解析】
当m＞0时，m=1，
抛物线C的解析式为y=x2-2x+1，
向下平移n（n＞0）个单位后得到y=x2-2x+1-n，
抛物线y=x2-2x+1-n与抛物线C1：y=ax2+bx+c关于y轴对称，
∴a=1，b=2，c=1-n，
∴抛物线C1：y=x2+2x+1-n，
∵抛物线C1过点（n，3）
∴n2+2n+1-n=3，即n2+n-2=0，
解得n1=1，n2=-2（由题意n＞0，舍去）∴n=1
∴抛物线C1：y=x2+2x，
答：C1的函数关系式是y=x2+2x．

（3）【解析】
存在，理由是：
当-3＜m＜0时m=-1，
抛物线C的解析式是y=x2+1，
顶点M（0，1），
∵过点P（1，y），
∴y=1+1=2，
∴P（1，2），
作点M（0，1）关于直线x=-1的对称点M′（-2，1），
设直线PM′的解析式为y=kx+b，
把P（1，2），M′（-2，1）代入得：，
解得：，
∴直线PM′的解析式为，
∴，
答：在直线x=-1上存在一点Q，使得△QPM的周长最小，点Q的坐标是（-1，）．