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已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半...

已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A.
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AD:AO=8:5,BC=2,求BD的长.

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(1)要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可; (2)通过作辅助线,根据已知条件求出∠CBD的度数,在Rt△BCD中求解即可. 【解析】 (1)直线BD与⊙O相切.(1分) 证明:如图,连接OD. ∵OA=OD ∴∠A=∠ADO ∵∠C=90°,∴∠CBD+∠CDB=90° 又∵∠CBD=∠A ∴∠ADO+∠CDB=90° ∴∠ODB=90° ∴直线BD与⊙O相切.(2分) (2)解法一:如图,连接DE. ∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90° ∵AD:AO=8:5 ∴(3分) ∵∠C=90°,∠CBD=∠A (4分) ∵BC=2, ∴ (5分) 解法二:如图,过点O作OH⊥AD于点H. ∴AH=DH= ∵AD:AO=8:5 ∴cosA=(3分) ∵∠C=90°,∠CBD=∠A ∴(4分) ∵BC=2 ∴(5分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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