Question

如图，已知梯形OABC，AB∥OC，A（2，4），B（3，4），C（7，0）、点D在线段OC上运动（点D不与点O、C重合），过点D作x轴的垂线交梯形的一边于点E，以DE为一边向左侧作正方形DEFG，设点D的横坐标为t，正方形DEFG与梯形OABC重合部分的面积为s，
（1）直接写出线段AO与线段BC所在直线的解析式；
（2）求s关于t的函数关系式，并求s的最大值．

Answer

（1）已知了A、B、C三点坐标，即可利用待定系数求得直线AO和直线BC的解析式．
（2）此题应分五种情况讨论：
①点E在线段OA上时（包括和A点重合），即0＜t≤2时，此时OD=t，DE=2t，重合部分是直角三角形，利用三角形的面积公式即可得到S、t的函数关系式；
②点E在线段AB上时（包括和B点重合），即2＜t≤3时，此时OD=t，DE=4，重合部分是个直角梯形，根据梯形的面积公式可求得S、t的函数关系式；
③点E在线段BC上，点G在O点左侧（或与点O重合），即3＜t≤3.5时，此时OD=t，DE=7-t，重合部分是个直角梯形，首先将DE的长代入直线AO的解析式中，即可得到EF与AO的交点横坐标，从而求得梯形的上底长，而梯形的下底为t，高为7-t，根据梯形的面积公式即可得到S、t的函数关系式；
④点E在线段BC上，点G在O点右侧，点F在直线OA左侧（包括点F在OA上），即时，此时OD=t，DE=7-t，重合部分的面积可由正方形的面积减去未重合的直角三角形的面积，由此求得S、t的函数关系式；
⑤点E在线段BC上，其余三点均在梯形OABC内部时，即时，此时重合部分的面积就是正方形EFGD的面积，从而求得S、t的函数关系式；
根据上述五种不同的函数的性质和对应的自变量取值范围即可得到S的最大值及对应的t的值．
【解析】
（1）设直线AO的解析式为：y=kx，由于A（2，4），则：
2k=4，k=2，
∴y=2x；
设直线BC的解析式为：y=ax+b，则有：
，
解得；
∴y=-x+7；
故直线AO的解析式为：y=2x；（1分）
直线BC的解析式为：y=-x+7．（2分）

第（2）小题分以下五段：
①当0＜t≤2时，有：s=t2；
当t=2时，s有最大值为：4 （4分）
②当2＜t≤3时，有：s=4t-4；
当t=3时，s有最大值为：8（6分）
③当3＜t≤3.5时，有：；
当t=3.5时，s有最大值为：（7分）
④当时，有：；
当t满足时，s的值小于．（8分）
⑤当时，有：s=（t-7）2；
此时s的值小于，（9分）
综上所述，当t=3.5时，s有最大值为：．（10分）