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已知点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点,C是直线n上一点,且∠ABC=90...

已知点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点,C是直线n上一点,且∠ABC=90°,点E在AC的延长线上,BC=kAB (k≠0).
(1)当k=1时,在图(1)中,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.写出线段EF与EB的数量关系,并加以证明;
(2)若k≠1,如图(2),∠BEF=∠ABC,其它条件不变,探究线段EF与EB的数量关系,并说明理由.
(1)在直线m上截取AM=AB,连接M,易证△MAE≌△BAE,则EM=EB,再根据等角对等边即可证明EM=EF,从而求证; (2)过点E作EM⊥m,可以证明四边形MENA为矩形,进而即可证明△MEF∽△NEB,根据相似三角形的对应边的比相等即可证得. 【解析】 (1)正确画出图形, EF=EB. 证明:如图(1),在直线m上截取AM=AB,连接ME. BC=kAB,k=1, ∴BC=AB, ∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠ACB=45°, ∵m∥n, ∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°, ∠FAB=90°, ∵AE=AE, ∴△MAE≌△BAE, ∴EM=EB,∠AME=∠ABE, ∵∠BEF=∠ABC=90°, ∴∠FAB+∠BEF=180°, ∴∠ABE+∠EFA=180°, 又∵∠AME+∠EMF=180°, ∴∠EMF=∠EFA, ∴EM=EF, ∴EF=EB; (2)EF=EB. 说明:如图(2),过点E作EM⊥m,EN⊥AB,垂足为M,N, ∴∠EMF=∠ENA=90°, ∵m∥n,∠ABC=90°, ∴∠MAB=90°, ∴四边形MENA为矩形, ∴ME=NA,∠MEN=90°, ∵∠BEF=∠ABC=90°, ∴∠MEF=∠NEB, ∴△MEF∽△NEB, ∴, ∴, 在Rt△ANE和Rt△ABC中, tan∠BAC===k, ∴EF=EB.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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