Question

已知：抛物线y=ax²-2ax+c-1的顶点A在一次函数y=-x+8的图象上，该抛物线与x轴交于B、C两点（B在C的左侧），且过点D（0，4）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设H为线段OC上一点，过点H作HK∥BD，交AC于K，若△HKC的面积等于，求直线HK的解析式；
（3）在（2）问的基础上抛物线上是否存在一点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线HK于Q，使点A、H、P、Q为等腰梯形的四个顶点？若存在求P点的坐标；若不存在请说明理由．

Answer

（1）由抛物线的解析式不难确定对称轴的坐标，代入一次函数的解析式中，即可得二次函数的顶点坐标，再结合点D的坐标，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式．
（2）过K作KM⊥x轴于M，由于HK∥BD，可判定△BOD∽△HMK，若设HM=m，根据HM、MK的比例关系即可得出MK的长度表达式，进而在Rt△CMK中，由∠OCA的正切值可求出CM的长，则HC的长可得，已知△HKC的面积，即可得到m的值，进而可求出H、K的坐标，利用待定系数法即可求出直线HK的解析式．
（3）由（2）的计算结果不难看出AH恰好与y轴平行，而PQ也和y轴平行，即AH∥PQ，若以A、H、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，那么AH、PQ必为梯形的上下底，因此A、P两点的纵坐标差的绝对值应等于点Q到x轴的距离（或Q、H纵坐标差的绝对值），可据此来列出等式求出P点的坐标．
【解析】
（1）抛物线的对称轴：x=1，则顶点A（1，），依题意，有：
，
解得
故抛物线的解析式：y=-x2+x+4．

（2）由（1）知，抛物线的顶点A（1，），过K作KM⊥x轴于M；
∵KH∥BD，
∴∠DBO=∠KHM
又∵∠DOB=∠KMH=90°，
∴Rt△DOB∽Rt△KMH，
∴==4，设HM=m，则KM=4m；（m＞0）
在Rt△CKM中，tan∠KCM=，CM=KM÷tan∠KCM=m；
∴S△CHK=×（m+m）×4m=，解得：m=
则：CH=m=2，KM=4m=，OH=OC-CH=1，OM=OC-CM=
即：H（1，0）、K（，）；
设直线HK：y=kx+b，代入点H、K的坐标，得：
，
解得
故直线HK的解析式：y=4x-4．

（3）由A（1，）、H（1，0）知，AH∥y轴；
而PQ⊥x轴，即PQ∥y轴，所以AH∥PQ，若以A、H、P、Q为顶点的四边形为等腰梯形，则AH、PQ为底（如右图），
此时，点P必在抛物线对称轴的右侧，且Rt△AFQ≌Rt△HGP，则有：|yQ-yA|=|yP|
设P（x，-x2+x+4），则Q（x，4x-4），（x＞1），可列等式：
|4x-4-|=|-x2+x+4|，
解得：x=4
则P（4，-）、Q（4，12），PQ＞AH；
综上，存在符合条件的P点，且坐标为（4，-）．