Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式．

Answer

（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；
（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式．因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是惟一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点进行分类计算．
【解析】
（1）E（3，1）；F（1，2）；

（2）连接EF，在Rt△EBF中，∠B=90°
∴EF==，
设点P的坐标为（0，n），n＞0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，（a≠0）．
①当EF=PF时，EF2=PF2，
∴12+（n-2）2=5，
解得n1=0（舍去），n2=4．
∴P（0，4），
∴4=a（0-1）2+2，
解得a=2，
∴抛物线的解析式为y=2（x-1）2+2．
②当EP=FP时，EP2=FP2，
∴（2-n）2+1=（1-n）2+9，
解得n=-（舍去）．
③当EF=EP时，EP=＜3，这种情况不存在，
综上所述，符合条件的抛物线为y=2（x-1）2+2．