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如图,抛物线y=-x2+12x-30的顶点为A,对称轴AB与x轴交于点B.在x上...

如图,抛物线y=-x2+12x-30的顶点为A,对称轴AB与x轴交于点B.在x上方的抛物线上有C、D两点,它们关于AB对称,并且C点在对称轴的左侧,CB⊥DB.
(1)求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找出点Q,使它到A、C两点的距离相等,并求出点Q的坐标;
(3)延长DB交抛物线于点E,在抛物线上是否存在点P,使得△DEP的面积等于△DEC的面积?若存在,请你直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
提示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为manfen5.com 满分网,顶点坐标为manfen5.com 满分网

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(1)将已知的抛物线解析式化为顶点式,即可得到抛物线对称轴方程以及顶点的坐标. (2)此小题首先要求出点C的坐标;对于Rt△CBD来说,C、D关于抛物线对称轴对称,则CB=BD,那么△CBD是等腰直角三角形,若设抛物线对称轴与CD的交点为G,那么△BCG也是等腰直角三角形,可先设出点C的横坐标,再由Rt△BCG的特殊形状表示出点C的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出点C的坐标.抛物线对称轴已知,设出点Q的纵坐标后,依坐标系两点间的距离公式表示出CQ、AQ的长,由CQ=AQ列出方程求出点Q的坐标. (3)若△DEP、△DEC的面积相等,那么点P与点C到直线DE的距离相同; ①过点C作平行于DE的直线,该直线与抛物线的交点为符合条件的点P,此时点P、C到直线DE的距离相同; ②过点D作DF∥BC,交x轴于点F,此时四边形DCBF是平行四边形,那么DF⊥DE,且DF=BC,那么过点F与直线DE平行的直线与抛物线的交点也是符合条件的点P. 【解析】 (1)∵y=-x2+12x-30=-(x-6)2+6 ∴此抛物线的对称轴为x=6,顶点A的坐标(6,6). (2)∵C、D关于AB对称, ∴BC=BD,CD∥x轴; 又∵CB⊥DB, ∴△BCD是等腰直角三角形, ∴∠DCB=45°,即△BCG为等腰直角三角形,CG=BG; 设点C的横坐标为a,则CG=6-a,BG=CG=6-a,即C(a,6-a),代入y=-x2+12x-30,得: 6-a=-a2+12a-30,解得:a1=4、a2=9(舍) ∴C(4,2); 设Q(6,m),则AQ=6-m,CQ= ∵AQ=CQ, ∴6-m=, 解得m= ∴Q(6,). (3)设直线DE的解析式:y=kx+b,代入D(8,2)、B(6,0),得: , 解得 故直线DE:y=x-6; 若△DEP的面积等于△DEC的面积,则点C、P到直线DE的距离相等; ①过点C作直线l1∥DE,可设其解析式为:y=x+b1,代入C(4,2)解得:b1=-2; 即:直线l1 y=x-2,联立抛物线的解析式有: , 解得、 故P1(7,5). ②过点D作DF∥CB,交x轴于点F,则四边形DCBF为平行四边形,且有:DF⊥DE,BF=CD=4,即F(10,0); 过点F作直线l2∥DE,同①易求得直线l2:y=x-10,联立抛物线的解析式,有: , 解得、 故P2(,)、P3(,). 综上,符合条件的点P的坐标为P1(7,5)、P2(,)、P3(,).
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考点分析:
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(1)求此一次函数的关系式;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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