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如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴...

如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-1,0),C(3,2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.
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首先把已知坐标代入解析式求出抛物线解析式.然后作辅助线过点C作CH⊥AB于点H,得出四边形ABCD是等腰梯形,由矩形的中心对称性得出过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分.设M(m,n),N(m-2,n+1)利用等式关系求出m,n的值后即可. 【解析】 (1)∵抛物线y=ax2-3ax+b过A(-1,0)、C(3,2), ∴0=a+3a+b,2=9a-9a+b. 解得a=-,b=2, ∴抛物线解析式y=-x2+x+2. (2)如图1,过点C作CH⊥AB于点H, 由y=-x2+x+2得B(4,0)、D(0,2). 又∵A(-1,0),C(3,2), ∴CD∥AB. 由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形, ∴S△AOD=S△BHC. 设矩形ODCH的对称中心为P,则P(,1). 由矩形的中心对称性知:过P点任一直线将它的面积平分. ∴过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分. 当直线y=kx-1经过点P时, 得1=k-1 ∴k=. ∴当k=时,直线y=x-1将四边形ABCD面积二等分. (3)如图2,由题意知,四边形AEMN为平行四边形, ∴AN∥EM且AN=EM. ∵E(1,-1)、A(-1,0), ∴设M(m,n),则N(m-2,n+1) ∵M、N在抛物线上, ∴n=-m2+m+2,n+1=-(m-2)2+(m-2)+2, 解得m=3,n=2. ∴M(3,2),N(1,3).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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