Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，且BE平分∠ABC，
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=2，AE=，求⊙O的半径．

Answer

（1）连接OE．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OE即可；
（2）由切割线定理，得：AE2=AD•AB，根据切割线定理即可求出BD的长，由此得解．
（1）证明：连接OE．
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠AEO=90°，即AC⊥OE．
又∵OE是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，
根据切割线定理：AE2=AD×AB，
∵AD=2，AE=，
∴12=2AB，
∴AB=6，则AD+BD=6，
∴BD=4，
∴⊙O的半径=BD=2．