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如图,抛物线manfen5.com 满分网经过A(-3,0),C(5,0)两点,点B为抛物线顶点,抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)动点P从点B出发,沿线段BD向终点D作匀速运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t,过点P作PM⊥BD,交BC于点M,以PM为正方形的一边,向上作正方形PMNQ,边QN交BC于点R,延长NM交AC于点E.
①当t为何值时,点N落在抛物线上;
②在点P运动过程中,是否存在某一时刻,使得四边形ECRQ为平行四边形?若存在,求出此时刻的t值;若不存在,请说明理由.

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(1)把点A、C坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的二元一次方程组,解方程组求出a、b的值,即可得解; (2)根据抛物线解析式求出顶点B的坐标,然后根据相似三角形对应边成比例用t表示出PM,再求出NE的长度,①表示出点N的坐标,再根据点N在抛物线上,把点N的坐标代入抛物线,解方程即可得解;②根据PM的长度表示出QD,再利用待定系数法求出直线BC的解析式,然后根据直线BC的解析式求出点R的横坐标,从而求出QR的长度,再表示出EC的长度,然后根据平行四边形对边平行且相等列式求解即可. 【解析】 (1)∵y=ax2+bx+经过A(-3,0),C(5,0)两点, ∴, 解得, 所以,抛物线的解析式为y=-x2+x+; (2)∵y=-x2+x+, =-(x2-2x+1)++, =-(x-1)2+8, ∴点B的坐标为(1,8), ∵抛物线的对称轴与x轴交于点D, ∴BD=8,CD=5-1=4, ∵PM⊥BD, ∴PM∥CD, ∴△BPM∽△BDC, ∴=, 即=, 解得PM=t, 所以,OE=1+t, ∵四边形PMNQ为正方形, ∴NE=8-t+t=8-t, ①点N的坐标为(1+t,8-t), 若点N在抛物线上,则-(1+t-1)2+8=8-t, 整理得,t(t-4)=0, 解得t1=0(舍去),t2=4, 所以,当t=4秒时,点N落在抛物线上; ②存在. 理由如下:∵PM=t,四边形PMNQ为正方形, ∴QD=NE=8-t, 设直线BC的解析式为y=kx+m, 则, 解得, 所以直线BC的解析式为y=-2x+10, 则-2x+10=8-t, 解得x=t+1, 所以,QR=t+1-1=t, 又EC=CD-DE=4-t, 根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC, 即t=4-t, 解得t=, 此时点P在BD上,所以,当t=时,四边形ECRQ为平行四边形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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