Question

如图（1），两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1． 固定△ABC不动，分别按如下操作画出图形并进行解答：
（1）图（2）中，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
（2）图（3）中，当D点移到AB的中点时，请你探究四边形CDBF的形状，并说明理由．

Answer

（1）如图2，过C点作CG⊥AB于G，通过解直角三角形AGC求得梯形CDBF的高CG=，再由△ADC和△BFC是等底同高知S△ACD=S△BFC，则S梯形CDBF=S△ABC；
（2）由平移的性质推知四边形CDBF是平行四边形；然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知平行四边形CDBF的邻边CD=BD，则四边形CDBF是菱形．
【解析】
（1）如图2，过C点作CG⊥AB于G，
∵在Rt△AGC中，∠A=60°，AC=1．
∴sin60°=，
∴，
∵AD=CF，
∴S△ACD=S△BFC，
∵AB=2，
∴S梯形CDBF=S△ABC=

（2）四边形CDBF是菱形．理由如下：
如图3，∵CF∥BD，CF=BD，
∴四边形CDBF是平行四边形．
∵∠ACB=90°，点D是边AB的中点，
∴CD=BD，
∴平行四边形CDBF是菱形．