Question

如图，定义：若双曲线y=（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=（k＞0）的对径．
（1）求双曲线y=的对径．
（2）若双曲线y=（k＞0）的对径是10，求k的值．
（3）仿照上述定义，定义双曲线y=（k＜0）的对径．

Answer

过A点作AC⊥x轴于C，
（1）先解方程组，可得到A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），即OC=AC=1，则△OAC为等腰直角三角形，得到OA=OC=，则AB=2OA=2，于是得到双曲线y=的对径；
（2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为10，即AB=10，OA=5，根据OA=OC=AC，则OC=AC=5，得到点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线y=（k＞0）即可得到k的值；
（3）双曲线y=（k＜0）的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线y=（k＜0）的对径．
【解析】
过A点作AC⊥x轴于C，如图，
（1）解方程组，得，，
∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=OC=，
∴AB=2OA=2，
∴双曲线y=的对径是2；

（2）∵双曲线的对径为10，即AB=10，OA=5，
∴OA=OC=AC，
∴OC=AC=5，
∴点A坐标为（5，5），
把A（5，5）代入双曲线y=（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值为25；

（3）若双曲线y=（k＜0）与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点，
则线段AB的长称为双曲线y=（k＜0）的对径．