Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AD=CD=6，E是AD上一点，且AE=4，EF⊥AC，垂足为O，交AD，BC于点E，F．
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）求OF的长；
（3）若点P，M分别是AC，FC的中点，PK⊥PM，交CD于点K，求的值．

Answer

（1）根据垂直与∠BAC=90°求出EF∥AB，然后根据平行四边形的定义证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出AC的长与∠ACD=45°，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ACB=45°，从而判定△ABC，△OFC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出BC，根据平行四边形的对边平行且相等求出BF，然后求出CF，再根据等腰直角三角形的性质求出OF即可；
（3）过P作PR⊥BC，垂足为R，作PS⊥DC，垂足为S，然后证明四边形PRCS是正方形，再根据同角的余角相等求出MPR=∠KPS，然后利用“角边角”证明△MPR≌△KP，根据全等三角形对应边相等可得MP=KP，SK=MR，根据点M是FC的中点求出MC的长，P是AC的中点求出PC的长，然后根据等腰直角三角形的性质求出PR=RC=3，从而得到MR=1，再根据全等三角形对应边相等得到SK的长，从而可以求出CK，利用勾股定理列式求出PK，然后求出比值即可．
（1）证明：∵EF⊥AC，∠BAC=90°，
∴EF∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFE为平行四边形；

（2）【解析】
∵AD=CD=6，∠ADC=90°，
∴AC=6，∠ACD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，∠BAC=90°，
∴△ABC，△OFC都是等腰直角三角形．
∴BC=12，
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴BF=AE=4，
∴FC=12-4=8，
∴OF=4；

（3）【解析】
过P作PR⊥BC，垂足为R，作PS⊥DC，垂足为S．
则∠PRM=∠PSK=90°，
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ACD=45°，∠ACM=45°，
∴PR=PS，
∴四边形PRCS是正方形，
∴∠SPR=90°，
又∵PK⊥MP，
∴∠MPR=∠KPS，
在△MPR和△KPS中，
∵，
∴△MPR≌△KPS（ASA），
∴MP=KP，SK=MR，
∵点M是FC的中点，
∴MC=（12-4）÷2=4，
点P是AC的中点，PC==3，
Rt△PRC中，∠PCR=45°，
∴PR=RC=3，
∴SC=PS=3，
MR=MC-RC=4-3=1，
∴SK=MR=1，
∴CK=SC-SK=3-1=2，
在Rt△PSK中，根据勾股定理，PK===，
∴=．