Question

在平面直角坐标系中，函数y=（m＞0）的图象经过点A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴的垂线，垂足为C；过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连接AB、AD、BC、CD．
（1）求m的值；
（2）求证：CD∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

Answer

（1）根据函数y=（m＞0）的图象经过点A（1，4），代入求出即可；
（2）根据解析式得出B、C、D、M的坐标，然后分别表示出线段DM，MB，AM，MC的长，可求出△CDM∽△ABM进而得出CD∥AB；
（3）根据四边形ABCD为平行四边形以及四边形ABCD为等腰梯形分别得出即可．
（1）【解析】
∵函数y=（m＞0）的图象经过点A（1，4），
∴代入求出：m=4；

（2）证明：由题意得：B、C（1，0）、D（0，）、M（1，）
∴DM=1，MB=a-1，AM=4-，MC=
∴，
∴
∵∠DMC=∠BMA
∴△CDM∽△ABM，
∴∠DCA=∠BAC
∴CD∥AB；

（3）【解析】
设直线AB的函数解析式为y=kx+b
∵CD∥AB，AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形或等腰梯形
情况1：四边形ABCD为平行四边形
则DM=MB
∴a-1=1，a=2
∴B（2，2），
∵A（1，4）、B（2，2）在直线AB上，
把点A（1，4）、B（2，2）分别代入y=kx+b中
，
解得：
则直线解析式为：y=-2x+6，
情况2：四边形ABCD为等腰梯形
则AC=BD
∴a=4，
∴B（4，1），
∵A（1，4）、B（4，1）在直线AB上，
把点A（1，4）、B（4，1）分别代入y=kx+b中
，
解得：
则直线解析式为：y=-x+5
综上所述，直线AB的函数解析式为y=-2x+6或y=-x+5．