Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标；
（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）令y=0，代入直线解析式求出B，C点坐标．联立方程组后可求出点A的坐标．
（2）当△CBD为等腰三角形时，分三种情况讨论（BD1=D1C；BC=BD2；CD3=BC，或CD4=BC），依靠辅助线的帮助求出点D的坐标．
（3）本题也要借助辅助线的帮助．分为三种情况讨论（当四边形AE1OD1为平行四边形；当四边形AD2E1O为平行四边形时；当四边形AOD1E2为平行四边形时）．
【解析】
（1）在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）． （1'）
在y=-x+3中，当y=0时，-x+3=0，∴x=4，点C的坐标为（4，0）． （2分）
由题意，得解得
∴点A的坐标为（，）．（3分）

（2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．
由（1），得B（-1，0），C（4，0），∴BC=5．
①当BD1=D1C时，过点D1作D1M1⊥x轴，垂足为点M1，则BM1=M1C=BC．
∴BM1=，OM1=-1=，x=．
∴y=-，点D1的坐标为．（4分）
②当BC=BD2时，过点D2作D2M2⊥x轴，垂足为点M2，则D2M22+M2B2=D2B2，
∵M2B=-x-1，D2M2=-x+3，D2B=5，
∴（-x-1）2+（-x+3）2=52．
解得x1=-，x2=4（舍去）．此时，．
∴点D2的坐标为． （6分）
③当CD3=BC，或CD4=BC时，同理可得D3（0，3），D4（8，-3）．（9分）
由此可得点D的坐标分别为D1（，），D2（-，），D3（0，3），D4（8，-3）．
评分说明：符合条件的点有4个，正确求出1个点的坐标得（1分），2个点的坐标得（3分），3个点的坐标得（5分），4个点的坐标得满分；与所求点的顺序无关．

（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）．
①当四边形AE1OD1为平行四边形时，． （10分）
②当四边形AD2E1O为平行四边形时，=．（11分）
③当四边形AOD1E2为平行四边形时，．（12分）