Question

如图，BC是半圆的直径，O为圆心，A是半圆上弧BF的中点，AD⊥BC于点D，AD与BF交于一点E，BA与CF交于点N．
（1）依据图中现有的线段，找出所有的相等线段（半径除外）；
（2）证明（1）中的任意一组相等线段．
（3）证明：BF=2AD．

Answer

（1）根据题意可得相等线段有：AE=BE，AB=AF，CN=CB；
（2）连接AC，易证得∠BAD=∠BCA，由A是半圆上弧BF的中点，可得AB=AF，又可得∠BAD=∠ABE，则可得AE=BE，然后由三线合一，可得CB=AN；
（3）连接OA，易证得△OAD≌△OBG，继而可得BF=2AD．
【解析】
（1）相等线段有：AE=BE，AB=AF，CN=CB；

（2）证明：连接AC，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BCA=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，
∵A是半圆上弧BF的中点，
∴=，
∴AB=AF；∠BCA=∠ABE，
∴∠BAD=∠ABE，
∴AE=BE；
∵∠BCA=∠ECA，CA⊥AN，
∴∠N=∠ABC，
∴CN=CB；

（3）证明：连接OA，交BF于点G，
∵A是弧BF的中点，O为圆心，
∴OA⊥BF，
∴BG=BF，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADO=∠BGO=90°，
在△OAD与△OBG中，
，
∴△OAD≌△OBG（AAS），
∴AD=BG，
∴BF=2AD．