Question

某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）

项 目 类 别	年固定 成本	每件产品 成本	每件产品 销售价	每年最多可 生产的件数
A产品	20	m	10	200
B产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计6≤m≤8．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x²万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其自变量取值范围；
（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．

Answer

（1）根据A产品的年利润=每件售价×年销售量-（年固定成本+每件成本×销售量），B产品的年利润=每件售价×年销售量-（年固定成本+每件成本×销售量）-特别关税，分别求出y1，y2与x的函数关系式，根据表格写出自变量x的取值范围；
（2）根据y1与y2的函数关系式，由一次函数、二次函数的性质求最大值，利用作差法求两个最大值的差，根据m的取值范围，分类讨论．
【解析】
（1）由年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润y1，y2分别为：
y1=10x-（20+mx）=（10-m）x-20，（0≤x≤200），
y2=18x-（40+8x）-0.05x2=-0.05x2+10x-40，（0≤x≤120）；

（2）∵6≤m≤8，∴10-m＞0，∴y1=（10-m）x-20，为增函数，
又∵0≤x≤200，∴当x=200时，生产A产品有最大利润为（10-m）×200-20=1980-200m（万美元）
又∵y2=-0.05x2+10x-40=-0.05（x-100）2+460，（0≤x≤120）
∴当x=100时，生产B产品有最大利润为460（万美元）
现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：
∵生产A产品最大利润为1980-200m（万美元），生产B产品最大利润为460（万美元），
∴（1980-200m）-460=1520-200m，且6≤m≤8，
当1520-200m＞0时，6≤m＜7.6，
当1520-200m=0时，m=7.6，
当1520-200m＜0时，7.6＜m≤8，
所以：当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；
当m=7.6时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；
当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．