Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c均为实数且a≠0）满足条件：对任意实数x都有y≥2x；且当0＜x＜2时，总有y≤成立．
（1）求a+b+c的值；
（2）求a-b+c的取值范围．

Answer

（1）由题干给出的条件可知两个条件都满足可以发现二次函数经过一个定点．就可以求出答案；
（2）根据判别式和图象法，就能求出取值范围．
【解析】
（1）由题意可知对任意实数x都有y≥2x，
∴当x=1时，y≥2；
且当0＜x＜2时，总有y≤成立，
故当x=1，y≤2，
∴当x=1时，y=2，故二次函数y=ax2+bx+c经过（1，2）点，
∴a+b+c=2；

（2）ax2+bx+c≥2x，
ax2+（b-2）x+c≥0，
由（1）知b=2-a-c，代入得△=（a+c）2-4ac≥0，（a-c）2≥0，
所以c=a，b=2-2a．
再列得ax2+bx+c≤（x+1）2，把c=a，b=2-2a代入可得 （a-）x2-2（a-）x+a-≤0，（a-）（x-1）2≤0，
因为0＜x＜2，（x-1）≥0，
故a≤．
根据图象法可得此抛物线要永远在y=2x这条一次函数上方满足a＞0．
综上所述，a的取值范围是0＜a≤，a-b+c=4a-2，把a的取值范围代入可得-2＜a-b+c≤0．