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如图:已知点C在圆O上,P是圆O外一点;割线PO交圆O于点B、A,已知AC=PC...

如图:已知点C在圆O上,P是圆O外一点;割线PO交圆O于点B、A,已知AC=PC,∠COB=2∠PCB,且PB=2;
(1)求证:PC是圆O的切线;
(2)求tan∠P;
(3)M是圆O的下半圆弧上的一动点,当M点运动到使△ABM的面积最大时,过CM的直线交AB于点N,求MN,MC的值.

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(1)根据切线的判定定理,证明∠OCP=90°即可; (2)根据条件容易求出∠P=30°; (3)因为AB是定值,所以当OM⊥AB时,AB边上的高最大,则△ABM的面积最大,则M点的位置确定,N的位置也随之确定,又OM的值已求,ON的值易求,从而可根据勾股定理在Rt△OMN中求出MN的值,再由割线定理求出NC,然后根据MC=MN-NC求出MC的值. (1)证明:∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB, ∴∠PCB=∠A. ∵OC=OA, ∴∠A=∠OCA. ∴∠PCB=∠OCA. ∵AB是直径, ∴∠OCA+∠BCO=90°. ∴∠PCB+∠BCO=90°. ∴∠OCP=90°. ∴PC是圆O的切线. (2)【解析】 ∵AC=PC, ∴∠P=∠A. 设∠A=x°,则∠PCB=∠P=∠OCA=x°, ∴∠COB=2∠PCB=2x°,∠CBO=∠P+∠PCB=2x°. ∵OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC=2x°. ∴x=30°,tan∠P=. (3)【解析】 在Rt△OCP中, ∵∠OPC=30°, ∴OP=2OC. ∵PB=2, ∴OC=OB=2. ∴OP=4,PC=2. 过O作OM⊥AB于O,则△ABM的面积最大. ∵∠COM=150°,OC=OM, ∴∠M=∠OCM=15°. ∴∠PNC=75°, ∴∠PCN=∠OCP-∠OCM=75°. ∴PN=PC=2. ∴ON=2+4. ∵OM=2, ∴MN=2+2. 又∵NB•NA=NC•NM, ∴NC=+3. ∴MC=MN-NC=-. ∴MN=2+2,MC=-.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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