Question

如图：在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，8），D是OC上一点，且CD：OD=3：5，连接AD，过D点作DE⊥AD交OB于E，过E作EF∥AD，交AB于F
（1）求经过A、D两点的直线解析式；
（2）求EF的长；
（3）在DE所在的直线上是否存在一点P，使AP⊥PE？若存在，则这样的点P有几个？并说明理由；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据A点的坐标是（4，8），则CD=AB=8，再根据CD：OD=3：5，即可求得OD的长．得到D的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）易证△ACD∽△EBF，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
（3）根据已知条件知点P与点D重合，所以符合条件的点P只有一个．
【解析】
（1）∵A点的坐标是（4，8），
∴CD=AB=8
又∵CD：OD=3：5，
∴OD=5，即D得坐标是（0，5）
设经过A、D两点的直线解析式是y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
根据题意得：，
解得．
所以经过A、D两点的直线解析式为：y=x+5；

（2）∵∠ACD=90°，∠ADE=90°，
∴∠CAD+∠ADC=∠ADC+∠ODE=90°，
∴∠CAD=∠ODE．
又∵∠ACD=∠DOE=90°，
∴△ACD∽△DOE，
∴=，
∵AC=4，CD=3，OD=5，
∴OE===
∴BE=OB-OE=4-=．
同理△ACD∽△EBF
∴=，
在直角三角形ACD中，由勾股定理知AD=5，
∴EF===，即EF=；

（3）存在．满足题设的点P有1个．理由如下：
∵点P在直线DE上，AP⊥DE，且AD⊥DE，
∴点P与点D重合，
∴满足题设条件的点P只有1个．