Question

三个正方形ABCD，BEFG，RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）

A．14
B．16
C．18
D．20

Answer

设AB=a，FP=b，延长PK，BE交于点M，根据正方形性质得出AB=AD=CD=BC=a，FR=RK=PK=FP=b，求出S△AED=（4+a）a，S△CGD=（a-4）a，S△KPG=（4+b）b，S△EKM=（4-b）b，代入式子S△DKE=（S正方形ABCD+S正方形GFEB+S正方形FPME）-（S△AED+S△CGD+S△GPK+S△EMK）求出即可．
【解析】
设AB=a，FP=b，延长PK，BE交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=CD=BC=a，
∴S△AED=（4+a）a，
∵CG=BC-BG=a-4，
∴S△CGD=（a-4）a，
∵四边形FPRK为正方形，
∴FR=RK=PK=FP=b，
∵GF=4，
∴S△KPG=（4+b）b，
∵四边形FEBG、FPKR为正方形，
∴∠MBG=∠BGP=∠P=90°，
∴矩形FPME，
∴PM=4 KM=4-b，
∵EM=b，
∴S△EKM=（4-b）b，
∴S△DKE=（S正方形ABCD+S正方形GFEB+S矩形FPME）-（S△AED+S△CGD+S△GPK+S△EMK），
=（a2+42+4b）-[（4+a）a+（a-4）a+（4+b）b+（4-b）b]，
=a2+16+4b-[2a+a2+a2-2a+2b+b2+2b-b2]
=a2+16+4b-[a2+4b]
=16；
解法二、
连接BD、GE、FK，
则根据正方形性质推出∠PFK=∠FGE=∠CDB=45°，
即BD∥GE∥FK，
则根据等底等高的三角形面积相等得出：S△GED=S△GBE，S△KGE=S△FEG，
∴阴影部分的面积是S=S△GED+S△KEG=S△GEB+S△FGE=S正方形BGFE=16；
故选B．