Question

（1）观察与猜想：已知当0°＜α＜60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是______（填代号）
A．2sin（30°+α）=sinα+   
B．2sin（30°+α）=2sinα+
C．2sin（30°+α）=sinα+cosα．
（2）探究与证明：如图1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，请利用图1证明（1）中你猜想的结论；
（3）应用新知识解决问题：
两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内，BD=8，求S_△ABC．

Answer

（1）正确的选项为C；
（2）过A作AD⊥BM，交BC延长线于点M，过C作CE⊥AB，在直角三角形ABM中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AM等于AB的一半，再由∠ACM为三角形ABC的外角，利用外角性质得到∠ACM=30°+α，在直角三角形AEC中，表示出EC与AE，在直角三角形BEC中，表示出BE，由AE+EB表示出AB，化简后即可得证；
（3）由上述结论2sin（30°+45°）=sin45°+cos45°，求出sin75°的值，过A作AE垂直于BC，由BD分别求出AB与BC的长，在直角三角形AB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（1）正确的选项为C；
（2）过A作AM⊥BM，交BC延长线于点M，过C作CE⊥AB，
∵∠AMB=90°，∠B=30°，
∴AM=AB，即AB=2AM，
∵∠ACM为△ABC的外角，
∴∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α，
在Rt△ACM中，AC=1，
∴AM=ACsin∠ACM=sin（30°+α），
则AB=2sin（30°+α），
在Rt△AEC中，EC=ACsinα=sinα，AE=ACcosα=cosα，
在Rt△BEC中，BE==CE=sinα，
则AB=BE+AE=sinα+cosα，
则2sin（30°+α）=sinα+cosα；
（3）∵∠ABD=45°，∠CBD=30°，
∴2sin（30°+45°）=sin45°+cos45°=，
∴sin75°=，
过A作AE⊥BC，
在等腰直角三角形ABD中，BD=8，
∴AB=AD=8，
在Rt△BCD中，BD=8，
∴CD=4，BC==4，
在Rt△ABE中，sin75°=，
∴AE=8×=2+2，
则S△ABC=BC•AE=×4×（2+2）=24+8．