Question

已知 关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

Answer

（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．
【解析】
（1）关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0，
△=（2k+1）2-4（4k-3）=4k2-12k+13=4+4＞0恒成立，
故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①
因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，
则b+c=2k+1②，bc=4k-3③，
因为（b+c）2-2bc=b2+c2=31，
即（2k+1）2-2（4k-3）=31，
整理得：4k2+4k+1-8k+6-31=0，即k2-k-6=0，
解得：k1=3或k2=-2（舍去），
则b+c=2k+1=7，
又因为a=，
则△ABC的周长=a+b+c=+7．