Question

已知关于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²的两实数根为x₁，x₂
（1）求m的取值范围；
（2）设y=x₁+x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

Answer

（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．
【解析】
（1）将原方程整理为x2+2（m-1）x+m2=0；
∵原方程有两个实数根，
∴△=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，得m≤；

（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1-m）x-m2，即x2+2（m-1）x+m2=0的两根，
∴y=x1+x2=-2m+2，且m≤；
因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．