Question

如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4=7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取=5）

Answer

（1）依题意代入x的值可得抛物线的表达式．
（2）令y=0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．
（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位可得
2=-（x-6）2解得x的值即可知道CD、BD．
【解析】
（1）（3分）如图，设第一次落地时，
抛物线的表达式为y=a（x-6）2+4．（1分）
由已知：当x=0时y=1，
即1=36a+4，
∴a=-（2分）
∴表达式为y=-（x-6）2+4，（3分）
（或y=-x2+x+1）．

（2）令y=0，-（x-6）2+4=0，
∴（x-6）2=48．
x1=4+6≈13，x2=-4+6＜0（舍去）．（2分）
∴足球第一次落地距守门员约13米．（3分）

（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD
根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位）
∴2=-（x-6）2+4解得x1=6-2，x2=6+2（2分）
∴CD=|x1-x2|=4≈10（3分）
∴BD=13-6+10=17（米）．（4分）
解法二：令-（x-6）2+4=0
解得x1=6-4（舍），x2=6+4≈13．∴点C坐标为（13，0）．（1分）
设抛物线CND为y=-（x-k）2+2（2分）
将C点坐标代入得：
-（13-k）2+2=0
解得：k1=13-2（舍去），k2=6+4+2≈6+7+5=18（3分）
令y=0，0=-（x-18）2+2，x1=18-2（舍去），x2=18+2≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
解法三：由解法二知，k=18，
所以CD=2（18-13）=10，
所以BD=（13-6）+10=17．
答：他应再向前跑17米．（4分）