Question

如图，梯形OABC中，BC∥AO，∠BAO=90°，B（-3，3），直线OC的解析式为y=-x，将△OBC绕点C顺时针旋转60°后，O到O₁，B到B₁，得△O₁B₁C．
（1）求证：点O₁在x轴上；
（2）将点O₁运动到点M（-4，0），求∠B₁MC的度数；
（3）在（2）的条件下，将直线MC向下平移m个单位长度，设直线MC与线段AB交于点P，与线段OC的交于点Q，四边形OAPQ的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出m的取值范围．

Answer

（1）根据特殊角的三角形函数值、旋转的性质以及等边三角形的判定推知△COO1为等边三角形，则∠COA=∠COO1=60°，即OA与OO1在同一直线上，所以点O1在x轴上．
（2）由旋转的性质、坐标与图形是性质易证B1、C、O三点共线．然后根据点B、C的坐标以及直角梯形的性质证得MC是等腰三角形B1MO的中垂线，最后由等腰三角形“三合一”的性质求得∠B1MC=∠BMO=30°；
（3）根据图形知，S四边形OAPQ=S梯形PAQN+S△QNO．然后由梯形的面积公式和三角形的面积公式进行计算．由PQ与边AB有交点来求m的取值范围．
（1）证明：如图1，∵BC∥AO，B（-3，3），
∴点C的纵坐标是3，
又∵直线OC的解析式为y=-x，
∴3=-x，
解得，x=-，则C（-，3）
∴tan∠COA=，
∴∠COA=60°．
∵根据旋转的性质知，∠OCO1=60°，CO=CO1
∴△COO1为等边三角形，
∴∠COO1=60°
∴∠COA=∠COO1
∴点O1在x轴上．

（2）【解析】
如图2，∵∠COO1=60°，BC∥AO，
∴∠BCO=120°，
∴B1CO1=120°．
∵∠O1CO=60°，
∴∠B1CO=180°，
∴B1、C、O三点共线．
∵C（-，3），
∴CO=CO1=O1O=2，
∵MO=4，
∴MO1=O1O=O1C，
可证得∠MCO=90°
∵BC=CO=2，BC=B1C，
∴B1C=CO，
∴MB1=MO，
∴∠B1MC=∠BMO=30°；

（3）【解析】
如图3，设MC与AB边交于点D，过点C作CE∥AB交PQ于点E，过点Q作QN⊥OA于点N．
∵AD=1，PD=m，
∴AP=1-m．  
在△CEQ中，CE=m，∠ECQ=30°
∴CQ=m，
∴OQ=2-m
∴QN=3-m，ON=-m
∴AN=2+m
又∵S四边形OAPQ=S梯形PAQN+S△QNO
∴S=+（-m）（3-m）
∴S=-m2-2m+（0＜m＜1）