Question

如图，某校九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60度．请你帮助他们计算出小山的高度BC．（计算过程和结果都不取近似值）

Answer

首先根据题意分析图形；过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F；构造本题涉及到的两个直角三角形，根据图形分别求解可得DE与BF的值，再利用BC=DE+BF，进而可求出答案．
【解析】
如图，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，
则有DE∥FC，DF∥EC．
∵∠DEC=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE=FC．
∵∠HBA=∠BAC=45°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=45°-30°=15度．
又∵∠ABD=∠HBD-∠HBA=60°-45°=15°，
∴△ADB是等腰三角形．∴AD=BD=180（米）．
在Rt△AED中，sin∠DAE=sin30°=，
∴DE=180•sin30°=180×=90（米），∴FC=90米．
在Rt△BDF中，∠BDF=∠HBD=60°，sin∠BDF=sin60°=，
∴BF=180•sin60°=180×（米）．
∴BC=BF+FC=90+90=90（+1）（米）．
答：小山的高度BC为90（+1）米．