Question

已知关于x的方程x²-（2k+1）x+k²-1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，且（x₁-2）（x₂-2）=7-3k，求k的值．

Answer

由关于x的方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，将已知的等式变形后，把表示出的两根之和与两根之积代入得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
【解析】
∵x2-（2k+1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴x1+x2=2k+1，x1x2=k2-1，且△=（2k+1）2-4（k2-1）=4k+5＞0，即k＞-，
∵（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=k2-1-2（2k+1）+4=7-3k，
整理得：k2-k-10=0，
解得：k=，
∴k=或k=（舍去），
则k的值为．