Question

如图，⊙O中，BC为直径，AH⊥BC，垂足为D，过B作弦BF，交AD于E，交⊙O于F，且AE=BE．
（1）求证：AB=AF；  
（2）若BE•EF=32，AD=6，证明：AF∥BC．

Answer

（1）由AE=BE，易证得=，又由AH⊥BC，由垂径定理即可求得=，继而可得=，则可证得AB=AF；
（2）由相交弦定理，可求得AE的长，继而可得∠DBE=30°，又由三角形内角和定理，可求得∠AFB=∠DBE，继而证得AF∥BC．
证明：（1）∵AE=BE，
∴∠BAH=∠ABF，
∴=，
∵AH⊥BC，
∴=，
∴=，
∴AB=AF；

（2）∵BE•EF=AE•HE，
∴AE•（12-AE）=32，
解得：AE=8或AE=4，
由题意得：AE=4，
∴DE=AD-AE=6-4=2，
在Rt△BDE中，BE=4=2DE，
∴∠DBE=30°，
∵∠DAB=∠EBA，且∠DAB+∠ABE+∠DBE=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠AFB=∠ABF，
∴∠AFB=∠DBE，
∴AF∥BC．