Question

如图，已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值．

Answer

（1）由BD∥y轴，可知B点与D点的横坐标相等，将x=-8代入直线y=x，即可求出点B的坐标；再根据A点与B点关于原点对称，求出A点坐标；
（2）先由B是CD中点，D点纵坐标为0，可知B点纵坐标是C点纵坐标的，即为-，又B点在直线y=x上，把y=-代入直线y=x，得B点横坐标为-2n，从而可用含n的代数式表示k及E点的坐标，然后根据四边形OBCE的面积=矩形ODCN面积-直角三角形ODB的面积-直角三角形ONE的面积，列出关于n的方程，解方程求出n的值，即可得出C、M两点的坐标，最后运用待定系数法求出直线CM的解析式；
（3）由于点M（m，n）在双曲线上，得出k=mn，再联立双曲线y=与直线y=x，求出A、B两点的坐标，由MA=pMP，MB=qMQ求出p、q，从而得出p-q的值．
【解析】
（1）将x=-8代入直线y=x，
得y=-2．
∴点B坐标（-8，-2），--（1分）
将点B坐标（-8，-2）代入得：
k=xy=16．--（2分）
∵A点是B点关于原点的对称点，
∴A点坐标为（8，2）．--（3分）

（2）∵B是CD中点，C点纵坐标为-n，
∴B点纵坐标为-，
把y=-代入直线y=x，得B点横坐标为-2n，
∴D点坐标（-2n，0），B点坐标（-2n，-），C点坐标（-2n，-n）．--（4分）
∴k=（-2n）×（-）=n2．
将E点纵坐标-n代入方程y=n2/x，得其横坐标-n．
∵四边形OBCE的面积=矩形ODCN面积-Rt△ODB的面积-Rt△ONE的面积，
∴4=2n2-n2-n2，
解得n=2．--（5分）
所以C点坐标（-4，-2），M点坐标（2，2）--（6分）
设直线CM的解析式为y=kx+b，则，
解得．
∴直线CM解析式为y=x+．--（7分）

（3）将点M的坐标（m，n）代入双曲线方程得：k=mn．
双曲线y=与直线y=x联立，
解得A点坐标（2，），B点坐标（-2，-），
∴MA=，
MP=，
∵MA=pMP，MB=qMQ，
∴p==，--（9分）
q==，--（11分）
∴p-q=-=-2．--（12分）